Analyse et équations aux dérivées partielles
Niveau L3
"À l'issue de ce module, les étudiants devront :
- connaître les grandes classes d'équations aux dérivées partielles ;
- connaître les concepts mathématiques fondamentaux nécessaires à l'analyse et à la résolution des équations aux dérivées partielles , en particulier les théories phares de l'analyse du 21ème siècle, comme la théorie de la mesure et la théorie des distributions ;
- savoir utiliser les méthodes essentielles de résolution des équations aux dérivées partielles (méthodes des caractéristiques, décomposition en série ou transformée de Fourier) ;
- être capables de mettre en œuvre numériquement ces méthodes pour la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles par des algorithmes implémentés dans le langage Python."
1. Espaces vectoriels normés
- Normes, limites et continuité
- Exemples importants
- Espaces vectoriels normés de dimension finie et infinie
- Formes linéaires continues
2. Espaces de Banach
- Définitions et premiers exemples
- Théorème du point fixe de Picard et applications
3. Espaces de Hilbert
- Définitions et premières propriétés
- Projections orthogonales
- Bases de Hilbert
- Théorème de représentation de Riesz
4. Théorie de la mesure et intégration
- Pourquoi aller au-delà de l'intégrale de Riemann ?
- Éléments de théorie de la mesure
- Construction de l'intégrale de Lebesgue
- Théorèmes de convergence
- Fonctions définies par une intégrale
- Mesures produit et théorème de Fubini
- Changements de variables dans les intégrales
5. Espaces de Lebesgue
- Fonctions égales presque partout
- L'espace L1
- L'espace L2
- L'espace L∞
- Autres espaces Lp
6. Séries de Fourier
- Coefficients de Fourier
- Séries de Fourier
- Résolution d'équations aux dérivées partielles par les séries de Fourier
7. Théorie des distributions
- Fonctions test
- Définition des distributions
- Dérivation au sens des distributions
- Convergence des distributions
8. Transformée de Fourier
- Transformée de Fourier dans L1
- Transformée de Fourier dans L2
- Résolution d'équations aux dérivées partielles par les transformées de Fourier
- Applications en théorie des probabilités
- Relation entre séries de Fourier et transformée de Fourier
9. Équations aux dérivées partielles
- Considérations générales sur les équations aux dérivées partielles
- Des modèles d'équations aux dérivées partielles
- Des méthodes pour résoudre les équations aux dérivées partielles
Résulats utiles
- Fonctions convexes et concaves
Grands scientifiques de ce cours
- Stefan Banach
- Émile Picard
- David Hilbert
- Frigyes Riesz
- Bernhard Riemann
- Henri-Léon Lebesgue
- Guido Fubini
- Joseph Fourier