Approche variationnelle des équations aux dérivées partielles
Niveau L3
"De très nombreux phénomènes en sciences de l'ingénieur (en physique, en mécanique...) sont modélisés par des équations aux dérivées partielles (EDP). Ces modèles sont aussi de plus en plus utilisés dans des domaines plus inattendus, comme celui de la santé (épidémiologie, fonctionnement des organes, fonctionnement des médicaments…), le domaine des transports...
L'objectif de ce cours est de présenter les outils modernes, élaborés dans la deuxième moitié du 20ème siècle, pour l'analyse mathématique de ces problèmes. En s'appuyant sur la théorie des distributions, on commencera par construire de bons espaces de fonctions (dits espaces de Sobolev) dans lesquels chercher la solution du problème. On introduira ensuite la notion de formulation faible (ou formulation variationnelle) d'une EDP. L'étude mathématique s'appuiera sur cette formulation, en utilisant des résultats généraux de type théorème de Lax-Milgram. La formulation "minimisation de l'énergie" correspondante (avec les notions essentielles de calcul différentiel) sera aussi présentée.
Plusieurs exemples d'EDP (problèmes de diffusion, problèmes de transport) seront étudiés, avec des conditions aux limites variées (dont on discutera la signification physique). Le cas spécifique de l'élasticité linéaire sera aussi étudié mathématiquement. La fin du cours permettra une ouverture vers des situations plus complexes : problèmes non-linéaires, problèmes avec contrainte (problème de l'obstacle)..."
1. Introduction à la théorie des distributions
- Définitions
- Premiers exemples de distributions
- Dérivation au sens des distributions
- Espace des fonctions test
- Distributions et fonctions localement intégrables
- Multiplication par une fonction C∞
- Convergence des distributions
- Plus sur la différentiation : le cas unidimensionnel
- Plus sur la différentiation : le cas multidimensionnel
- Valeurs principales et parties finies
- Distributions à support compact
2. Espaces de Sobolev
- Les espaces Hk(Ω)
- L'espace H01(Ω)
- Notion de trace
- L'espace H-1(Ω)
3. Problèmes aux limites linéaires elliptiques
- Théorème de Lax-Milgram
- Un premier problème aux limites linéaire elliptique
- Équation de Poisson sur un ouvert borné
- Un problème aux limites non-symétrique
4. Point de vue énergétique
- Différentielle d'une fonction
- Plus sur le théorème de Lax-Milgram dans le cas symétrique
Fondamentaux sur l'intégrale de Lebesgue et les espaces Lp
- L'espace L1(Ω)
- L'espace L²(Ω)
- Les espaces Lp(Ω) et Lp_loc(Ω)
- L'espace L∞(Ω)
- Autres propriétés
Grands scientifiques de ce cours
- Sergueï Sobolev
- Peter Lax
- Arthur Milgram
- Siméon Denis Poisson