Éléments finis
Niveau M1
- "Comprendre les fondements mathématiques de la méthode des éléments finis ;
- Savoir comment l'appliquer à des problèmes coercifs comme en élasticité linéaire ;
- Comprendre comment étendre la méthode aux écoulements incompressibles et aux équations hyperboliques."
1. Formulation faible de problèmes coercifs
- Problème du modèle de Poisson
- Caractère bien posé par coercivité : lemme de Lax-Milgram
- Application au problème du modèle de Poisson
- Un autre problème coercif : élasticité linéaire
2. Espaces d'éléments finis
- Qu'est-ce qu'un élément fini ?
- Éléments finis de Lagrange
- Mailles
- Génération d'éléments finis
- Espaces d'éléments finis H1-conformes
3. Approximation de problèmes coercifs par éléments finis
- Interpolation par éléments finis
- Problème du modèle de Poisson
- Analyse d'erreur
- Complément : élasticité linéaire
4. Approximation de problèmes non coercifs par éléments finis
- Au-delà de la coercivité : théorème de Banach-Necas-Babuska
- Problème de Helmholtz : caractère bien posé par le théorème BNB
- Approximation par éléments finis
5. Équations de Stokes incompressibles
- Formulation faible
- Caractère bien posé par le théorème BNB
- Approximation conforme par éléments finis
- Point de vue algébrique
- Complément : complément de Schur
- Complément : formulation du point de selle
6. Approximation de problèmes hyperboliques par éléments finis
- Lois de conservation scalaires
- Problème de Riemann
- Approximation par éléments finis
- Complément : la méthode des caractéristiques
Opérateurs bijectifs dans les espaces de Banach
- Résultats fondamentaux
- Caractérisation de la surjectivité
- Caractérisation de la bijectivité
- Opérateurs coercifs
Grands scientifiques de ce cours
- Siméon Denis Poisson
- Peter Lax
- Arthur Milgram
- Joseph-Louis Lagrange
- Stefan Banach
- Necas
- Ivo Babuška
- Hermann von Helmholtz
- George Gabriel Stokes
- Issai Schur
- Bernhard Riemann