Problèmes d'évolution
Niveau M1
"Le cours Problèmes d'évolution a pour objectif d'initier les étudiants à l'étude mathématique et numérique des équations aux dérivées partielles modélisant l'évolution dans le temps d'une quantité d'intérêt. Les problèmes d'évolution interviennent dans de très nombreux domaines, que ce soit pour l'industrie ou pour la recherche académique, par exemple en mécanique, ingénierie, finance, biologie, chimie, physique etc.
À l'issue de ce cours, les étudiants sauront :
- modéliser mathématiquement un problème d'évolution concret ;
- classer ce problème selon ses propriétés mathématiques (savoir identifier si le problème est parabolique ou hyperbolique par exemple) ;
- identifier les outils théoriques et numériques pour aborder ce problème ;
- tester des méthodes numériques simples."
Frédéric Legoll, Pierre Lissy
1. Rappels
- Espaces de Hilbert
- Espaces de Sobolev
- Convergence faible
2. Introduction à la théorie spectrale
- Applications linéaires
- Théorie spectrale des opérateurs linéaires et continus
- Opérateurs compacts
3. Équations aux dérivées partielles et problèmes aux valeurs propres
- Motivation
- Valeurs propres d'un problème elliptique
- Méthodes numériques
- Algorithmes pour le calcul de valeurs et de vecteurs propres
4. Introduction aux lois de conservation
- L'équation de transport linéaire
- Équation de Burgers
5. Problèmes d'évolution parabolique
- Préliminaires
- L'équation de la chaleur dans tout l'espace
- L'équation de la chaleur sur un ouvert borné Ω
Grands scientifiques de ce cours
- David Hilbert
- Sergueï Sobolev
Johannes Martinus Burgers