Contrôle des systèmes dynamiques
Niveau M1
"L'objectif de ce cours est d'introduire et de mettre en pratique de nouvelles notions fondamentales d'analyse (convergence faible dans les espaces de Hilbert, injections de Sobolev…) essentielles pour traiter de nombreux problèmes d'optimisation en dimension infinie.
On se focalisera sur le contrôle optimal de systèmes dynamiques (on cherche les trajectoires qui minimisent un certain critère). On approfondira à cette occasion l'étude des systèmes dynamiques (courbes intégrales, analyse de stabilité, critères de contrôlabilité…), et on verra comment mettre en œuvre concrètement le principe du minimum de Pontryagine dans le cadre d'un TP informatique sur le problème de rendez-vous spatial."
Amaury Hayat
1. Contrôlabilité des systèmes linéaires
- Systèmes de contrôle linéaires
- Cas sans contraintes : critère de Kalman
- Cas avec contraintes : ensemble atteignable
2. Contrôlabilité des systèmes non-linéaires
- Théorème de Cauchy-Lipschitz
- Ensemble atteignable
- Contrôlabilité locale des systèmes non-linéaires
- Compléments : topologie faible, différentielle, sélection mesurable
3. Optimisation dans les espaces de Hilbert
- Contrôle optimal sous critère quadratique
- Minimisation de fonctionnelles
- Exemple : temps-optimalité (cas linéaire)
4. Le système linéaire-quadratique (LQ)
- Présentation du système LQ
- Différentielle du critère : état adjoint
- Principe du minimum : Hamiltonien
- Équation de Riccati : feedback
5. Principe du minimum de Pontryaguine (PMP)
- Systèmes de contrôle non-linéaires
- PMP : énoncé et commentaires
- Application au système LQ avec contraintes
- Exemple non-linéaire : ruche d'abeilles
6. PMP : preuve, extensions, application
- PMP : esquisse de preuve
- Extensions du PMP : atteinte de cible
- Application : problème de Zermelo
- Résolution numérique : méthode de tir
Stabilité des systèmes dynamiques
- Notions de stabilité
- Fonction de Lyapunov et principe d'invariance de LaSalle
- Stabilisation par retour d'état
Grands scientifiques de ce cours
- Rudolf Kalman
- Augustin Louis Cauchy
- Rudolf Lipschitz
- David Hilbert
- William Rowan Hamilton
- Jacopo Riccati
Lev Pontriaguine
Ernst Zermelo
Alexandre Liapounov
Joseph Pierre LaSalle