Analyse fonctionnelle
Niveau M1
"L'objectif de ce cours est d'introduire et de mettre en pratique de nouvelles notions fondamentales d'analyse (convergence faible dans les espaces de Hilbert, injections de Sobolev…) essentielles pour traiter de nombreux problèmes d'optimisation en dimension infinie.
On se focalisera sur les problèmes aux limites (EDP linéaires ou non-linéaires avec conditions aux bords) ou aux valeurs propres pouvant être traités par des méthodes variationnelles (les solutions correspondent à des minimiseurs ou des points critiques de problèmes d'optimisation avec ou sans contraintes). On en profitera pour consolider les bases d'analyse fonctionnelle et de théorie des EDP acquises en première année."
1. Convergence faible dans les espaces de Hilbert
- Définition
- Notions de topologie générale
- Convergence faible et topologie faible
- Compacité faible des suites bornées
- Quelques résultats essentiels
- Convergence faible dans L² et H1
2. Espaces de Sobolev
- Espaces de Sobolev d'ordre entier
- Espaces de Sobolev d'ordre négatif
- Espaces de Sobolev d'ordre fractionnaire
- Hypothèses de régularité du bord
- Théorèmes de trace
- Injections continues
- Injections compactes
- Inégalités de type Poincaré
3. Problèmes aux limites elliptiques linéaires
- Construction d'une formulation variationnelle
- Conditions au bord de Dirichlet, Neumann et Robin
4. Étude du modèle de Gross–Pitaevskii
- Énoncé du problème
- Correction détaillée
5. Compléments
- Caractérisation de l'espace W1,p(Ω)
- Théorème d'Ascoli et critère de compacité de Kolmogorov
- Lemme de Baire et théorème de Banach-Steinhaus dans les Banach
Grand scientifiques de ce cours
- David Hilbert
- Sergueï Sobolev
- Henri Poincaré
- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
- John von Neumann
- Victor Gustave Robin
- Eugene Gross
- Lev Pitayevski
- Giulio Ascoli
- Andreï Kolmogorov
- René Baire
- Stefan Banach
- Hugo Steinhaus