Processus stochastiques
Niveau M1
"Le cours de processus stochastiques présente des modèles en temps et en espaces d'états discrets tels que les chaînes de Markov, et en particulier leur comportement asymptotique en temps. Il introduit aussi aux modèles continus comme le mouvement brownien. Un rôle important est donné à l'espérance conditionnelle et la théorie des martingales. Des exemples illustreront comment les concepts développés dans ce cours peuvent être utilisés pour résoudre des problèmes velant de la physique, la biologie ou les sciences de l'ingénieur."
1. Théorie de la mesure et variables aléatoires
- Mesures et fonctions mesurables
- Intégration et espérance
2. Espérance conditionnelle
- Projection dans l'espace L²
- Espérance conditionnelle
- Espérance conditionnelle par-rapport à une variable aléatoire
3. Chaînes de Markov discrètes
- Définition et propriétés
- Mesures de probabilité invariantes, réversibilité
- Irréductibilité, récurrence, transience, périodicité
- Théorèmes asymptotiques
- Exemples et applications
4. Martingales
- Temps d'arrêt
- Martingales et théorème d'arrêt optionnel
- Inégalités maximales
- Convergence des martingales
- Compléments sur la convergence des martingales
5. Arrêt optimal
- Cadre de l'horizon fini
- Cadre de l'horizon infini
- De l'horizon fini à l'horizon infini
- Compléments
6. Mouvement brownien
- Processus gaussien
- Propriétés du mouvement brownien
- Intégrales de Wiener
7. Compléments
- Complément sur la théorie de la mesure
- Complément sur la convergence de suites de variables aléatoires
Grands scientifiques de ce cours
- Andreï Markov
- Robert Brown
- Carl Friedrich Gauss
- Norbert Wiener